Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-mlnx+（m-1）x，其中m∈R．
（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）当m≤0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）求证：当m=-1时，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

分析：（I）将m=2代入，我们易求出其导函数f'（x）的解析式，进而易判断基单调性，结合其定义域和单调性，易得到函数f（x）的最小值．
（II）由f'（x）=

(x-1)(x+m)

x

，结合m≤0，我们可以分-1＜m≤0与m≤-1两种情况进行分类讨论，利用导数法，讨论函数f（x）的单调性；
（III）当m=-1时，函数f（x）=

1

2

x2+lnx-2x．要证明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，即证明f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂，即证f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，故我们可以构造辅助函数g（x）=f（x）+x，通过讨论辅助函数g（x）=f（x）+x的单调性证明结论．

解答：解：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当m=2时，f'（x）=

x2+x-2

x

．
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．
∴f（x）在x=1时取得最小值，其最小值为f（1）=

3

2

．（4分）

（Ⅱ）∵f'（x）=x-

m

x

+（m-1）=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

，
∴（1）当-1＜m≤0时，若x∈（0，-m）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（-m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当m≤-1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．（9分）

（Ⅲ）当m=-1时，函数f（x）=

1

2

x2+lnx-2x．
构造辅助函数g（x）=f（x）+x，并求导得
g'（x）=x+

1

x

-1=

x2-x+1

x

=

(x- 1 2 )2+ 3 4

x

．
∴g'（x）＞0，g（x）为增函数．
∴对任意0＜x₁＜x₂，都有g（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
又∵x₁-x₂＜0，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．（14分）

点评：本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用导数研究函数的单调性，利用导数证明函数的单调性是我们证明函数单调性最常的办法，而利用单调性解不等式又是解不等式重要思路．