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    已知定义域为[0，1]的函数满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．

    (1)求f(0)的值；

    (2)函数g(x)＝2x－1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；

    (3)假定存在x0∈[0，1]，使得f(x0)∈[0，1]，且f(f(x0))＝x0，求证：f(x0)＝x0

    答案：
    解析：

    　　(1)解：由①知：；由③知：，即；

    　　∴

    　　(2)证明：由题设知：；

    　　由知，得，有；

    　　设，则，；

    　　∴

    　　即

    　　∴函数在区间[0，1]上同时适合①②③

    　　(3)证明：若，则由题设知：，且由①知，

    　　∴由题设及③知：

    矛盾；

    　　若，则则由题设知：，且由①知，

    　　∴同理得：，矛盾；

    　　故由上述知：


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    已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
    ①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
    ②f（1）=1；
    ③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
    （1）求f（0）的值；
    （2）求f（x）的最大值；
    （3）若对于任意x∈[0，1]，总有4f2（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    ①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
    ②f（1）=1；
    ③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且称f（x）为“友谊函数”，
    请解答下列各题：
    （1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值；
    （2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．
    （3）已知f（x）为“友谊函数”，且 0≤x1＜x2≤1，求证：f（x1）≤f（x2）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
    ①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
    ②f（1）=1；
    ③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f （x1+x2）≥f （x1）+f （x2）．
    （1）试求f（0）的值；
    （2）试求函数f（x）的最大值；
    （3）试证明：当x∈(
    1
    2n
    ，
    1
    2n-1
    ]    ，n∈N+时，f（x）＜2x．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
    （1）求f（0）的值；
    （2）函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
    （3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．

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    ②f（1）=1；
    ③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
    （1）试求f（0）的值；
    （2）试求函数f （x）的最大值；
    （3）试证明：当x∈(
    1
    4
    ，
    1
    2
    ]    时，f（x）＜2x．

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