Question

8．已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的交点为A，B，且直线AB，过两曲线的公共焦点F，则双曲线的离心率为e（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得$\frac{p}{2}=c$，经过利用直线AB，过两曲线的公共焦点建立方程关系即可求出双曲线的离心率．

解答 解：∵抛物线y²=2px（p＞0）和双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$有共同的焦点，
∴$\frac{p}{2}=c$，
∵直线AB过两曲线的公共焦点F，
∴$（\frac{p}{2}，p）$，即（c，2c）为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上的一个点，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{4c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴（c²-a²）c²-4a²c²=a²（c²-a²），
∴e⁴-6e²+1=0，
∴${e}^{2}=3±2\sqrt{2}$，
∵e＞1，
∴e=$1+\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查抛物线与双曲线的综合，考查抛物线与双曲线的几何性质，确定几何量之间的关系是关键．综合性较强，考查学生的计算能力．