Question

9．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得f（0）的值．
（Ⅱ）利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x=（ $\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）-cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（0）=sin（0-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由于函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
可得函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．