Question

已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足：

－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝.

（Ⅰ）求函数y＝f(x)的表达式；

（Ⅱ）若x＞0，证明：f(x)＞；

（Ⅲ）若不等式x²≤f(x²)＋m²－2bm－3时，x∈[－1，1]及b∈[－1，1]都恒成立，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(x)＝ln(x＋1)

（Ⅱ）证明略

（Ⅲ）m≥3或m≤－3

【解析】 (Ⅰ)∵－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝[y＋2f ^/(1)]－ln(x＋1)

由于A、B、C三点共线　即[y＋2f ^/(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1…………………2分

∴y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f ^/(1)

f ^/(x)＝，得f ^/(1)＝，故f(x)＝ln(x＋1)………5分

（Ⅱ）令g(x)＝f(x)－，由g^/(x)＝－＝

∵x＞0，∴g^/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数………………7分

故g(x)＞g(0)＝0    即f(x)＞…………………………………9分

（Ⅲ）原不等式等价于x²－f(x²)≤m²－2bm－3

令h(x)＝x²－f(x²)＝x²－ln(1＋x²)，由h^/(x)＝x－＝………11分

当x∈[－1，1]时，h(x)_max＝0，∴m²－2bm－3≥0

令Q(b)＝m²－2bm－3，则

得m≥3或m≤－3……………13分