Question

2．已知四棱锥P-ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC上一点，M为PC的中点．
（1）在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置（不要求给出理由）；
（2）求平面ADM将四棱锥P-ABCD分成上下两部分的体积比．

Answer 1

分析 （1）设N为PB中点，利用三角形中位线定理及其线面平行的判定定理可得截面如图所示．
（2）MN是△PBC的中位线，BC=1，可得MN=$\frac{1}{2}$，AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且AN⊥AD，利用梯形面积计算公式及其体积计算公式可得四棱锥P-ADMN的体积V₁．而四棱锥P-ABCD的体积V，可得四棱锥被截下部分体积V₂=V-V₁．

解答 解：（1）设N为PB中点，截面如图所示．
（2）∵MN是△PBC的中位线，BC=1，
∴MN=$\frac{1}{2}$，AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且AN⊥AD，
∴梯形ADMN的面积为$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}+1）×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{8}$，
P点到截面ADMN的距离为P到直线AN的距离d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴四棱锥P-ADMN的体积V₁=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{5}}{8}×\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{4}$，
而四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$，
所以四棱锥被截下部分体积V₂=V-V₁=$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$=$\frac{5}{12}$，
故上，下两部分体积比$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题以四棱锥为载体、线面平行的判定定理、三角形中位线定理、体积计算公式，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．