Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}-a{x}^{2}-1，x＜0}\\{|x-3|+a，x≥0}\end{array}\right.$恰有两个零点，则a的取值范围是（-3，0）．

Answer 1

分析 分类讨论，确定函数y=|x-3|+a在[0，+∞）上、函数y=2x³-ax²-1在（-∞，0）上零点的个数，即可得出结论．

解答 解：由题意，a≥0时，
x＜0，y=2x³-ax²-1，y′=6x²-2ax＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上至多一个零点；
x≥0，函数y=|x-3|+a无零点，
∴a≥0，不符合题意；
-3＜a＜0时，函数y=|x-3|+a在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x³-ax²-1在（-∞，0）上无零点，符合题意；
a=-3时，函数y=|x-3|+a在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x³-ax²-1在（-∞，0）上有零点-1，不符合题意；
a＜-3时，函数y=|x-3|+a在[0，+∞）上有两个零点，
函数y=2x³-ax²-1在（-∞，0）上有两个零点，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是（-3，0）．
故答案为（-3，0）．

点评 本题考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．