[题目]为了拓展城市的旅游业.实现不同市区间的物资交流.政府决定在市与市之间建一条直达公路.中间设有至少8个的偶数个十字路口.记为.现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树.且种植每种树木的概率均为.(1)现征求两市居民的种植意见.看看哪一种植物更受欢迎.得到的数据如下所示:A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为.

（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：

	A市居民	B市居民
喜欢杨树	300	200
喜欢木棉树	250	250

是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；

（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望；

（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证：.

附：

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

【答案】（1）没有（2）分布列见解析，（3）证明见解析

【解析】

（1）根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..

（2）根据题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.

（3）因为至少8个的偶数个十字路口，所以，即.要证，即证，根据组合数公式，即证；易知有.成立.设个路口中有个路口种植杨树，下面分类讨论①当时，由论证.②当时，由论证.③当时，，设，再论证当时，取得最小值即可.

（1）本次实验中，，

故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.

（2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，

故，，

	0	1	2	3	4

故.

（3）∵，∴.要证，即证；

首先证明：对任意，有.

证明：因为，所以.

设个路口中有个路口种植杨树，

①当时，

，

因为，所以，

于是.

②当时，，同上可得

③当时，，设，

当时，，

显然，当即时，，

当即时，，

即；，

因此，即.

综上，，即.

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性别	高级	非高级	合计
女	40
男		140
合计

（2）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手；

若甲入选了10人名单，求甲成为参赛选手的概率；

设抽取的3名选手中女生的人数为，求的分布列和期望．

附表：，其中．

	0.010	0.05	0.001
	6.635	7.879	10.828

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	作文成绩优秀	作文成绩一般	总计
课外阅读量较大	35	20	55
课外阅读量一般	15	30	45
总计	50	50	100

（1）根据列联表，能否有99.5%的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关；

（2）若用分层抽样的方式从课外阅读量一般的高中生中选取了6名高中生，再从这6名高中生中随机选取2名进行面谈，求面谈的高中生中至少有1名作文成绩优秀的概率．

附：，其中．

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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