Question

【题目】如图,在四棱锥中,底面是菱形,点在线段PC上,且三棱锥的体积是四棱锥的体积的,,平面.

（1）若是的中点,证明:直线∥平面;

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）要证明直线∥平面,只需证明∥,即可求得答案;

（2）取的中点,连接,过作交于点,求证为所求二面角的平面角,结合已知条件,即可求得答案.

（1）根据题意画出立体图形,如图:

由题意,,

即,

则,即点为的三等分点,

是的中点,

为的中点,

连接交于点,则为的中点,连接,

在中,为中位线,故∥,

不在平面内,在平面内,

∥平面;

（2）取的中点,连接,过作交于点,

为等边三角形,

,

平面,在平面内,

,

平面,

由三垂线定理可知,为所求二面角的平面角,

为等边三角形,,

,

又,

,

, ,

,

可得:,

即二面角的正弦值为.