Question

【题目】已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点，交抛物线于A、B两点.

（1）若P为中点，求l的方程；

（2）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）方法一：利用点差法求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意验证所求直线与抛物线有两个交点；

方法二：设中点弦所在直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求中点弦所在直线斜率，再根据点斜式得结果；注意考虑中点弦直线斜率不存在的情况是否满足题意；

（2）由抛物线的定义转化，方法一：设直线l：，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，注意比较直线斜率不存在的情况的值；方法二：设直线l：，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及二次函数性质求最值，此种设法已包含直线斜率不存在的情况.

解：（1）方法一：设，，，则，，

，化简得，

因为的中点为，，

，∴l的方程为，即.

经检验，符合题意.

方法二：设，，

当斜率不存在时，显然不成立.

当斜率存在时，设直线l：，显然，

由得

易知，，

因为的中点为，，即，

解得，∴l的方程为

（2）方法一：由抛物线的定义可知

当斜率不存在时，直线l：，

当斜率存在时，设直线l：，显然，

由得，

易知，

，

时，的最小值为

综上，的最小值为

方法二：由抛物线的定义可知

显然直线l不平行于x轴，设直线l：，

由得，

易知，，，

时，的最小值为