Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=150．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2an+（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求出首项和公式，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）b_n=2an+（-1）ⁿa_n=2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ•（n+2），当n为偶数时，T_n═（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²）+（-3+4）+…+（-n-1+n+2）；当n为奇数时，T_n=（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²）+（-3+4）+…+（-n+n+1）-（n+2），由此能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=150，
∴

15a1+ 15×14 2 d=150 a1+2d=5

，
解得a₁=3，d=1，
∴a_n=3+（n-1）=n+2．
（2）b_n=2an+（-1）ⁿa_n=2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ•（n+2），
当n为偶数时，
T_n=2³-3+2⁴+4+…+2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ•（n+2）
=（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²）+（-3+4）+…+（-n-1+n+2）
=

8(1-2n)

1-2

+

n

2

=2n+3+

n

2

-8．
当n为奇数时，
T_n=2³-3+2⁴+4+…+2ⁿ⁺²+（-1）ⁿ•（n+2）
=（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²）+（-3+4）+…+（-n+n+1）-（n+2）
=

8(1-2n)

1-2

+

n-1

2

-n-2
=2n+3-

n

2

-

21

2

．
∴T_n=

2n+3+ n 2 -8，n为正偶数 2n+3- n 2 - 21 2 ，n为正奇数

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．