Question

已知向量

m

=（2sin（ωx+

π

3

），1），

n

=（2cosωx，-

3

），（ω＞0），函数f（x）=

m

•

n

的两条相邻对称轴间的距离为

π

2

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-

π

3

，

π

6

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=2sin(2ωx+

π

3

)．再利用正弦函数的单调性和周期性即可得出．
（II）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

m

•

n

=4sin（ωx+

π

3

）•cosωx-

3

=4(

1

2

sinωx+

3

2

cosωx)•cosωx-

3

=sin2ωx+2

3

cos2ωx-

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx=2sin(2ωx+

π

3

)．
∴T=

2π

2ω

=π，解得ω=1．
∴f（x）=2sin(2x+

π

3

)．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
∴单调递增区间是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

，

π

6

]，∴2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin(2x+

π

3

)∈[-

3

2

，1]．
∴f(x)∈[-

3

，2]，即f（x）的值域是[-

3

，2]．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．