Question

已知函数f（x）=m（x-

1

x

）+2lnx（m∈R）．
（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求切线方程，利用导数求出方程的斜率，然后利用点斜式求得；
（2）判断函数的单调性，利用导数与0的关系，因为含有参数m，需要进行分类讨论．

解答： 解：（Ⅰ）当m=1时，函数f(x)=x-

1

x

+2lnx，函数的定义域为（0，+∞），
∴f′(x)=

x2+2x+1

x2

，
∴f（1）=0，k=f'（1）=4，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为4x-y-4=0，
（Ⅱ）∵f（x）=m（x-

1

x

）+2lnx，函数的定义域为（0，+∞），
∴f′(x)=

mx2+2x+m

x2

（1）当m≥0时，f'（x）＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）当m＜0时，
①当m≤-1时，f'（x）≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，
②当-1＜m＜0时，由f'（x）=0得x1=

-1+ 1-m2

m

，x2=

-1- 1-m2

m

，且0＜x₁＜x₂，

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减		增		减

∴f（x）在(0，

-1+ 1-m2

m

)和(

-1- 1-m2

m

，+∞)上单调递减，
f（x）在(

-1+ 1-m2

m

，

-1- 1-m2

m

)上单调递增．

点评：综合考查导数的应用，分类讨论思想，中档题．