Question

已知函数y=log_a（a²x）•loga2（ax），当x∈[2，4]时，y的取值范围是[-

1

8

，0]，求实数a的值．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：y=log_a（a²x）•loga2（ax）=1+

3

2

log_ax+

1

2

（log_ax）²，由此利用二次函数的性质进行分类讨论，能求出实数a的值．

解答： 解：y=log_a（a²x）•loga2（ax）
=（2+log_ax）•（

1

2

+loga2x）
=1+

1

2

logax+2loga2x+logax•loga2x
=1+

3

2

log_ax+

1

2

（log_ax）²，
设t=log_ax，则y=

1

2

t2+

3

2

t+1，
这个二次函数是顶点为（-

3

2

，-

1

8

），对称轴为t=-

3

2

，开口向上的抛物线，
当-

1

8

≤y≤0时，解得-2≤t≤-1，
当y=0时，解得t₁=-1，t₂=-2，
x∈[2，4]时，y的取值范围是[-

1

8

，0]，
①t=log_ax=-1，x=2，则a=

1

2

，
当t=log_a4=-2时，y=0，符合题意；
②t=log_ax=-1，x=4，则a=

1

4

，
当t=log_a2=-

1

2

时，y＞0，不符合题意；
③t=log_ax=-2，x=2，则a=

1

2

，
当t=log_a4=-4时，y＞0，不符合题意；
④t=log_ax=-2，x=4，则a=

1

2

，
当t=log_a2=-1时，y=0，符合题意．
综上，实数a的值为

1

2

．

点评：本题考查实数a的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二次函数的性质和分类讨论思想的合理运用．