Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，底面平行四边形ABCD⊥平面PAD，且PA=2

3

，AB=4，BD=2
（1）若点E为PD边中点，试判断直线AE是否平行平面PBC，若平行给出证明，不平行说明理由；
（2）求平面PCD与平面PBC所成二面角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的性质

专题：空间角

分析：（1）直线AE是不平行平面PBC．以DA，DB，过D垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线AE是不平行平面PBC．
（2）分别求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出平面PCD与平面PBC所成二面角的正弦值．

解答： 解：（1）直线AE是不平行平面PBC．
理由如下：
取AD中点F，连结PF，过F作直线FQ∥AB，交BC于Q，
∵△PAD为正三角形，∴PF⊥AD，
∵面PAD⊥⊥面ABCD，交线为AD，∴PF⊥平面ABCD，
∵AB=4，AP=AD=2

3

，BD=2，
∴AD⊥BD，以D为原点，
以DA，DB，过D垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
∴A（2

3

，0，0），P（

3

，0，3），
D（0，0，0），C（-2

3

，2，0）
∵E为PD中点，∴E（

3

2

，0，

3

2

），B（0，2，0），
∴

PB

=（-

3

，2，-3），

PC

=（-3

3

，2，-3），

AE

=（-

3 3

2

，0，

3

2

），
设平面PBC的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • PB =- 3 x+2y-3z=0 m • PC =-3 3 x+2y-3z=0

，
取y=3，得

m

=（0，3，2），
∵

m

•

AE

=3，∴直线AE是不平行平面PBC．
（2）∵平面PBC的法向量

m

=（0，3，2），
设平面PCD的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
∵

PC

=（-3

3

，2，-3），

PD

=（-

3

，0，-3），
∴

n • pC =-3 3 x1+2y1-3z1=0 n • PD =- 3 x1-3z1=0

，
取x1=

3

，得

n

=（

3

，3，-1），
设平面PCD与平面PBC所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

| m • n |

| m |•| n |

|=

7

13

，
∴sinθ=

1-( 7 13 )2

=

2 30

13

．
∴平面PCD与平面PBC所成二面角的正弦值是

2 30

13

．

点评：本题考查直线与平面是否垂直的判断与证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．