Question

在平面直角坐标系xoy中，双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上有一点P到它的两个焦点的距离之差为8，一条渐近线的倾斜角为arctan

3

4

，设p为双曲线上一点，过P作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于点M，求三角形OPM的面积S．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出双曲线方程是

x2

16

-

y2

9

=1，设P坐标（x₀，y₀），解得M（2（

x0

4

+

y0

3

），

3

2

(

x0

4

+

y0

3

)），P到OM距离=

|3x0-4y0|

5

，由此能求出三角形OPM的面积．

解答： 解：∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上有一点P到它的两个焦点的距离之差为8，
∴2a=8，a=4，
∵渐近线倾斜角为arctan

3

4

，∴渐近线斜率k=

3

4

，
∵x²/a²-y²/b²=1（a＞0，b＞0）渐近线为y=±

b

a

x，
∴

b

a

=

3

4

，∴b=3，
∴双曲线方程是

x2

16

-

y2

9

=1，
设P坐标（x₀，y₀），
MP：y=-

3

4

（x-x₀）+y₀，与y=

3

4

x联立，解得M（2（

x0

4

+

y0

3

），

3

2

(

x0

4

+

y0

3

)）
P到OM距离=

|3x0-4y0|

5

，
∴△OPM的面积S=

1

2

•

|3x0-4y0|

5

•

4( x0 4 + y0 3 )2+ 9 4 ( x0 4 + y0 3 )2

=

1

2

•

|3x0-4y0|

5

•

5

2

•|

x0

4

+

y0

3

|
=

1

4

|(3x0-4y0)(

x0

4

+

y0

3

)|
=

1

4

•12•|

x02

16

-

y02

9

|
=3．
∴三角形OPM的面积S等于3．

点评：本题考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．