Question

函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托底型”函数．
（1）判断函数f（x）=2x，g（x）=x³是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．
（2）若f（x）=x²+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．
（3）问实数k、b满足什么条件，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立进行判断，即可得到结论．
（2）根据|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，建立条件关系，即可求出结论，
（3）利用函数是“圆锥托底型”函数．则满足条件|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵|2x|=2|x|≥2|x|，即对于一切实数x使得|f（x）|≥2|x|成立，
∴f（x）=2x是“圆锥托底型”函数．…（2分）
对于g（x）=x³，如果存在M＞0满足|x³|≥M|x|，而当x=

M 2

时，由|

M 2

|3≥M|

M 2

|，
∴

M

2

≥M，得M≤0，矛盾，
∴g（x）=x³不是“圆锥托底型”函数．…（5分）
（2）∵f（x）=x²+1是“圆锥托底型”函数，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x²+1|≥M|x|对于任意实数恒成立．
∴当x≠0时，M≤|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

，此时当x=±1时，|x|+

1

|x|

取得最小值2，∴M≤2．…（9分）
而当x=0时，|f（0）|=1≥M|0|=0也成立．
∴M的最大值等于2．…（10分）
（3）①当b=0，k=0时，f（x）=0，无论M取何正数，取x₀≠0，则有|f（x₀）=0＜M|x₀|，
f（x）=0不是“圆锥托底型”函数．…（12分）
②当b=0，k≠0时，f（x）=kx，对于任意x有|f（x）|=|kx|≥|k||x|，此时可取0＜M＜k|，
∴f（x）=kx是“圆锥托底型”函数．…（14分）
③当b≠0，k=0时，f（x）=b，无论M取何正数，取|x₀|＞

|b|

M

．有|b|＜M|x₀|，
∴f（x）=b不是“圆锥托底型”函数．…（16分）
④当b≠0，k≠0时，f（x）=kx+b，无论M取何正数，取x₀=-

b

k

≠0，有|f（x₀）|=0≤M|x₀|，
∴f（x）=kx+b不是“圆锥托底型”函数．
由上可得，仅当b=0，k≠0时，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．…（18分）

点评：本题主要考查与函数有关的新定义，考查学生的推理能力和运算能力，综合性较强，难度较大．