Question

已知曲线C：xy＝1，过C上一点An(xn，yn)作一斜率为kn＝－的直线交曲线C于另一点An＋1(xn＋1，yn＋1)，点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1＝.

(1)求xn与xn＋1的关系式；

(2)令bn＝＋，求证：数列{bn}是等比数列；

(3)若cn＝3n－λbn(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．

Answer 1

(3)由(2)知，bn＝(－2)n，要使cn＋1>cn恒成立，由cn＋1－cn＝[3n＋1－λ(－2)n＋1]－[3n－λ(－2)n]＝2·3n＋3λ(－2)n>0恒成立，

即(－1)nλ>－n－1恒成立．

①当n为奇数时，即λ<n－1恒成立．

又n－1的最小值为1，∴λ<1.

②当n为偶数时，即λ>－n－1恒成立，

又－n－1的最大值为－，∴λ>－，

即－<λ<1.又λ为非零整数，

∴λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn.