Question

13．已知数列{a_n}的首项a₁=2，${a_n}=\frac{{3-{a_{n-1}}}}{2}（n≥2）$，求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析 由${a_n}=-\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{3}{2}$，设${a_n}+d=-\frac{1}{2}（{a_{n-1}}+d）$，解得d可得，${a_n}-1=-\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-1）$，再利用等比数列的通项公式及其求和公式即可得出．

解答 解：∵${a_n}=-\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{3}{2}$，设${a_n}+d=-\frac{1}{2}（{a_{n-1}}+d）$，
∴d=-1，
∴${a_n}-1=-\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-1）$，
∴{a_n-1}是等比数列，首项为1，
∴${a_n}={（-\frac{1}{2}）^{n-1}}+1$，
∴${S_n}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}•{（-\frac{1}{2}）^n}+n$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．