Question

3．已知f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+4}}$，x∈（-2，2）
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）求证：函数f（x）在（-2，2）上是增函数；
（3）若f（2+a）+f（1-2a）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性的定义判断函数f（x）是定义域上的奇函数；
（2）根据单调性的定义证明f（x）是（-2，2）上的增函数；
（3）根据f（x）为奇函数且在（-2，2）上是增函数，转化不等式f（2+a）+f（1-2a）＞0，求出a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+4}}$是定义域（-2，2）上的奇函数，
理由如下，
任取x∈（-2，2），有f（-x）=$\frac{-x}{{（-x）}^{2}+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=-f（x），
所以f（x）是定义域（-2，2）上的奇函数；    …5分
（2）证明：设x₁，x₂为区间（-2，2）上的任意两个值，
且x₁＜x₂，则
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（\frac{x_1}{x_1^2+4}）-（\frac{x_2}{x_2^2+4}）$=$\frac{{（{x_2}-{x_1}）（{x_1}{x_2}-4）}}{（x_1^2+4）（x_2^2+4）}$；…8分
因为-2＜x₁＜x₂＜2，
所以 x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0；
所以函数f（x）在（-2，2）上是增函数；  …10分
（3）因为f（x）为奇函数，
所以由f（2+a）+f（1-2a）＞0，
得f（2+a）＞-f（1-2a）=f（2a-1），
又因为函数f（x）在（-2，2）上是增函数，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{-2＜2+a＜2}\\{-2＜2a-1＜2}\\{2+a＞2a-1}\end{array}}\right.$；…13分
解得$\left\{{\begin{array}{l}{-4＜a＜0}\\{-\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}}\\{a＜3}\end{array}}\right.$，
即实数a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，0）．…15分．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．