Question

18．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$，且f（1）=-1．
（1）求f（x）的解析式，并判断它的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）将a=-2代入f（x），求出函数的定义域，得到f（-x）=-f（x），从而判断出函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可．

解答 解（1）可求得a=-2，
f（x）=$\frac{-{2x}^{2}+1}{x}$=-2x+$\frac{1}{x}$…（3分）
因为f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
且f（-x）=2x-$\frac{1}{x}$=-f（x），
所以f（x）是奇函数．…（7分）
（2）f（x）在（0，+∞）上的单调递减，
证明：设任意0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-2x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$+2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（2+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）…（10分）
因为0＜x₁＜x₂   所以x₂-x₁＞0且2+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
所以  f（x₁）＞f（x₂） 
所以 f（x）在（0，+∞）上的单调递减…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性的定义，是一道基础题．