Question

9．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x+1}$，g（x）=x²-2ax+4，若任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），即存在x∈[1，2]，使得g（x）=x²-2ax+4≤-1，即x²-2ax+5≤0，解得实数a的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：由于f′（x）=1+$\frac{1}{（x+1）2}$＞0，因此函数f（x）在[0，1]上单调递增，
所以x∈[0，1]时，f（x）_min=f（0）=-1．
根据题意可知存在x∈[1，2]，
使得g（x）=x²-2ax+4≤-1，即x²-2ax+5≤0，即a≥$\frac{x}{2}$+$\frac{5}{2x}$能成立，
令h（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{5}{2x}$，则要使a≥h（x）在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h（x）_min，
又函数h（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{5}{2x}$在x∈[1，2]上单调递减，
所以h（x）_min=h（2）=$\frac{9}{4}$，故只需a≥$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．