Question

10．己知抛物线若y²=2px过点P（1，2）．
（1）求实数p的值；
（2）若直线若l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），两点，且y₁y₂=-4，求证直线l过定点并求出该点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线若y²=2px过点P（1，2），代入计算，可得结论；
（2）设AB：x=my+b，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合条件，可得b=1，即可得到定点（1，0）．

解答 （1）解：∵抛物线若y²=2px过点P（1，2），
∴4=2p，
∴p=2；
（2）证明设AB：x=my+b，
代入抛物线方程y²=4x，可得y²-4my-4b=0，
y₁y₂=-4b，又y₁y₂=-4，
即有b=1，
即有x=my+1，
则直线AB恒过定点（1，0）．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线恒过定点的求法，属于中档题．