Question

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b
（1）求证：a、b、c成等差数列；
（2）若B=$\frac{π}{3}$，S=4$\sqrt{3}$ 求b．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB与已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，整理得出b的值即可．

解答 解：（1）由正弦定理得：sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
即sinA•$\frac{1+cosC}{2}$+sinC•$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵sin（A+C）=sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理化简得：a+c=2b，
∴a，b，c成等差数列；
（2）∵S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=4$\sqrt{3}$，
∴ac=16，
又b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
由（1）得：a+c=2b，
∴b²=4b²-48，即b²=16，
解得：b=4．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，等差数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．