Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（　　）

• A． 在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数
• B． 其图象关于直线x=-$\frac{π}{4}$对称
• C． 函数g（x）是奇函数
• D． 当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]时，函数g（x）的值域是[-2，1]

Answer 1

分析 由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sinωx+\frac{1}{2}cosωx）$=$2sin（ωx+\frac{π}{6}）$，
由题意知$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，则T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=2$sin[2（x+\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]=2sin（2x+\frac{π}{2}）$=2cos2x．
其图象如图：

由图可知，函数在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是减函数，A错误；
其图象的对称中心为（$-\frac{π}{4}，0$），B错误；
函数为偶函数，C错误；
$2cos（2×\frac{π}{6}）=1$，$2cos（2×\frac{2π}{3}）=-1$，
∴当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]时，函数g（x）的值域是[-2，1]，D正确．
故选：D．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．