Question

10．设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则$\frac{lgz}{4lgx}+\frac{lgz}{lgy}$的最小值为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 直接利用等比数列的性质以及对数的运算法则化简求解即可．

解答 解：x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，z²=xy，
$\frac{lgz}{4lgx}+\frac{lgz}{lgy}$=$\frac{\frac{1}{2}lg（xy）}{4lgx}+\frac{\frac{1}{2}lg（xy）}{lgy}$=$（\frac{1}{8}+\frac{lgy}{8lgx}）+（\frac{1}{2}+\frac{lgx}{2lgy}）$=$\frac{5}{8}+\frac{lgy}{8lgx}+\frac{lgx}{2lgy}$≥$\frac{5}{8}+2\sqrt{\frac{lgy}{8lgx}•\frac{lgx}{2lgy}}$=$\frac{9}{8}$．当且仅当lgy=2lgx时取等号．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查对数的运算法则等比数列的性质的应用，基本不等式的应用．