Question

13．已知抛物线的方程为y²=4x，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且|AF|=3，O为坐标原点，则△AOF的面积和△BOF的面积之比为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 如图所示，F（1，0）．由|AF|=3，可得x_A+1=3，解得x_A，代入抛物线方程可得${y}_{A}^{2}$=4×2，解得y_A．可得直线AB的方程与抛物线方程联立可得y_B．利用△AOF的面积和△BOF的面积之比=$\frac{|{y}_{A}|}{|{y}_{B}|}$即可得出．

解答 解：如图所示，F（1，0）．
∵|AF|=3，∴x_A+1=3，解得x_A=2．
代入抛物线方程可得${y}_{A}^{2}$=4×2，解得y_A=$2\sqrt{2}$．
∴直线AB的方程为：$y=\frac{2\sqrt{2}-0}{2-1}（x-1）$，化为y=2$\sqrt{2}$x-2$\sqrt{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为$\sqrt{2}{y}^{2}-2y-4\sqrt{2}$=0，
∴$2\sqrt{2}{y}_{B}$=-4，
解得y_B=-$\sqrt{2}$．
∴△AOF的面积和△BOF的面积之比=$\frac{|{y}_{A}|}{|{y}_{B}|}$=2．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、三角形面积之比，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．