Question

17．设函数f（x）=ax²+1nx，g（x）=x²+b，已知它们的图象在x=1处有相同的切线．
（1）求函数f（x）和g（z）的解析式；
（2）若函数F（x）=f（x）-m[g（x）+x]在区间[2，3]上不单调，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）欲求函数f（x）和g（x）的解析式，利用在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用斜率相等列出等式．从而求出a，b．
（2）求出F（x）的解析式，求得导数，令h（x）=（1-2m）x²-mx+1，
解法一、对m讨论，结合二次函数的图象和性质，考虑图象在[2，3]与x轴有两个交点，解不等式组即可得到m的范围；
解法二、运用参数分离，求出右边函数的导数，运用单调性，求得最值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ax²+1nx，g（x）=x²+b，
f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$，g′（x）=2x，
由题意可得，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），
即有a=1+b，2a+1=2，解得a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$，
所以$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+lnx，g（x）={x^2}-\frac{1}{2}$；
（2）解法一、由（1）可知$F（x）=（\frac{1}{2}-m）{x^2}-mx+lnx+\frac{m}{2}$，
则$F'（x）=\frac{{（1-2m）{x^2}-mx+1}}{x}$，记h（x）=（1-2m）x²-mx+1，
要使F（x）在区间[2，3]上不单调，
当1-2m=0时，h（x）＜0，F（x）递减，显然不满足题意；
则①$\left\{\begin{array}{l}1-2m＜0\\ h（2）＞0\\ h（3）＜0\end{array}\right.$，解得m∈Φ，或②$\left\{\begin{array}{l}1-2m＞0\\ h（2）＞0\\ h（3）＞0\\ 2＜-\frac{m}{2（1-2m）}＜3\\△＞0\end{array}\right.$，解得m∈Φ，
或③$\left\{\begin{array}{l}1-2m＞0\\ h（2）＜0\\ h（3）＞0\end{array}\right.$，解得m∈Φ，或④$\left\{\begin{array}{l}1-2m＞0\\ h（2）＞0\\ h（3）＜0\end{array}\right.$，解得$\frac{10}{21}＜m＜\frac{1}{2}$，
故满足条件的m的取范围为$\frac{10}{21}＜m＜\frac{1}{2}$．
解法二：$F'（x）=\frac{{（1-2m）{x^2}-mx+1}}{x}$，记h（x）=（1-2m）x²-mx+1，
设当F（x）在区间[2，3]上单调时，恒有h（x）≥0或h（x）≤0，
分离变量得：$m≤\frac{{{x^2}+1}}{{2{x^2}+x}}$或$m≥\frac{{{x^2}+1}}{{2{x^2}+x}}$，
$y'=（\frac{{{x^2}+1}}{{2{x^2}+x}}）'=\frac{{{x^2}-4x-1}}{{{{（2{x^2}+x）}^2}}}＜0（x∈[2，3]）$，
所以$y=\frac{{{x^2}+1}}{{2{x^2}-x}}$在[2，3]上递减．
即${y_{max}}=y{|_{x=2}}=\frac{1}{2}，{y_{min}}=y{|_{x=3}}=\frac{10}{21}$-，
即得此时$m≤\frac{10}{21}$或$m≥\frac{1}{2}$．
所以满足F（x）在区间[2，3]上不单调时，m的取值范围为$\frac{10}{21}＜m＜\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解及待定系数法、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．