Question

如图，AB表示一座塑像，OB是塑像底座，塑像及其底座所在直线与地面垂直，已知AB=9m，OB=3m．
（1）请用∠ACO与∠BCO的正切表示∠ACB的正切；
（2）在地面OD上求一点C，使C对塑像AB的视角∠ACB最大，这时OC长多少？

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由图得∠ACB=∠ACO-∠BCO，代入两角差的正切公式即可；
（2）设OC=x米，∠ACB=θ，求出x和θ的范围，利用（1）的结论和正切函数的定义表示出tan∠ACB，即tanθ，
化简后利用基本不等式求出最大值和此时的x，根据正切函数的单调性值此时θ也最大．

解答： 解：（1）由图得，∠ACB=∠ACO-∠BCO，
则tan∠ACB=tan(∠ACO-∠BCO)=

tan∠ACO-tan∠BCO

1+tan∠ACO•tan∠BCO

…（3分）
（2）设OC=x米，x＞0，∠ACB=θ，且θ∈（0，

π

2

），
如图，tan∠ACD=

AO

CO

=

12

x

，tan∠BCD=

BO

CO

=

3

x

，（5分）
则tan∠ACB=tanθ=

12 x - 3 x

1+ 12 x × 3 x

=

9 x

1+ 36 x2

=

9

x+ 36 x

≤

9

2 x• 36 x

=

9

2 36

=

3

4

，
当且仅当x=

36

x

时，即x=6时取等号，（8分）
∵θ∈（0，

π

2

），且y=tanθ是增函数，∴x=6时，tanθ最大，θ也最大，
答：当CO=6米时，C对塑像AB的视角∠ACB最大．（10分）

点评：本题考查两角差的正切函数，正切函数的定义、单调性的实际应用，把角最大的问题转化为角的正切值最大，考查转化思想．