Question

已知f（x）是定义在R上的函数，它具有奇偶性，且f（2+x）=f（2-x），则f（x）的最小正周期是

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的周期性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由f（2+x）=f（2-x），将x换成x+2，得f（x+4）=f（-x），讨论f（x）为奇函数，或偶函数，由奇偶性的定义，结合周期性的定义，即可得到f（x）的最小正周期．

解答： 解：∵f（x）满足f（2+x）=f（2-x），
∴将x换成x+2，得f（x+4）=f[2-（2+x）]=f（-x），
①若f（x）是定义在R上的偶函数，
则f（-x）=f（x），即有f（x+4）=f（x），
则f（x）的最小正周期为4；
②若f（x）是定义在R上的奇函数，
则f（-x）=-f（x），即有f（x+4）=-f（x），
将x换成x+4，则f（x+8）=-f（x+4），
即有f（x+8）=f（x），
则f（x）的最小正周期为8．
故答案为：4或8．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性和周期性及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．