Question

已知函数f（x）（x∈R）的图象如图所示，则函数g（x）=f（

x+1

x-1

）的单调递减区间是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：导数的综合应用

分析：令

x+1

x-1

=t，而函数f（t）和f（x）是同一个函数，并且g′（x）=f′（t）•(

x+1

x-1

)′=f′（t）•

-2

(x-1)2

．所以g′（x）＜0时，f′（t）＞0，g（x）的单调减区间对应着f（t）的单调增区间．由图象知道f（t）在[-1，2]上单调递增，即此时，-1≤t≤2，所以-1≤

x+1

x-1

≤2，解出这个不等式即可得到g（x）的单调递减区间．

解答： 解：令

x+1

x-1

=t，则：
g′（x）=f′（t）•(

x+1

x-1

)′=f′（t）•

-2

(x-1)2

，；
∴g′（x）＜0时，f′（t）＞0；
∵f（t）与f（x）是同一个函数，f′（t）＞0时，f（t）是增函数；
∴g（x）的减区间，对应着f（t）的增区间；
由图知道f（t）的增区间是[-1，2]，即-1≤t≤2；
∴-1≤

x+1

x-1

≤2，解得：x≤0，或x＞3；
∴g（x）的单调递减区间是（-∞，0]，（3，+∞）．

点评：考查复合函数的求导，函数f（g（x））和函数f（x）单调区间的关系．