Question

【题目】有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或跳到第100站（失败）时，该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为.

（1）求，，，并根据棋子跳到第站的情况写出与、的递推关系式（）；

（2）求证：数列为等比数列；

（3）求玩该游戏获胜的概率.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）.

【解析】

(1)棋子开始在第0站是必然事件，；棋子跳到第1站，;棋子跳到第2站，有两种情况，是互斥事件，分别求出，相加即可；依题意知，棋子跳到第（）站有两种情况：棋子先跳到站和棋子先跳到站,它们是互斥事件，根据互斥事件的加法公式即得， （2）要证明数列为等比数列，需证明是常数，

将两边同减去，构成即可；

（3）由（2）知，得，将的前99项相加即可

解：（1）棋子开始在第0站是必然事件，；

棋子跳到第1站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为；

棋子跳到第2站，有两种情况，

①第一次掷硬币反面向上，其概率为；

②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为；

依题意知，棋子跳到第（）站有两种情况：

第一种，棋子先跳到站，又掷出反面，其概率为；

第二种，棋子先跳到站，又掷出正面，其概率为.

∴

故有： ，，，.

（2）由（1）知，，

，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列.

（3）由（2）知，，

∴

.

∴玩该游戏获胜的概率为

故答案为：.