Question

6．对于函数f（x）=$\sqrt{x}$，当h无限趋近于0时，$\frac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}$无限趋近于$\frac{\sqrt{3}}{6}$，f′（3）=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 根据洛必达法则，能求出当h无限趋近于0时，$\frac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}$无限趋近于的值，先求出f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，由此能求出f′（3）．

解答 解：∵函数f（x）=$\sqrt{x}$，
根据洛必达法则，$\underset{lim}{h→0}\frac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}$=$\underset{lim}{h→0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{3+h}}}{1}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴当h无限趋近于0时，$\frac{\sqrt{3+h}-\sqrt{3}}{h}$无限趋近于$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∵f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
f′（3）=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查极限、导数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意洛必达法则的合理运用．