Question

15．已知，△ABC两边长分别为4，3，其夹角平分线长为2，则此三角形面积为$\frac{7\sqrt{95}}{12}$．

Answer 1

分析 设△ABC，AD是∠A的平分线，AD=2，AB=4，AC=3，根据角平分定理，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{4}{3}$，设BD=4m，CD=3m，在△ABD和△ADC中，根据余弦定理解得：m²=$\frac{5}{4}$-cos$\frac{A}{2}$，（1），m²=$\frac{13}{9}$-$\frac{4}{3}$cos$\frac{A}{2}$，（2）联立（1）和（2）式，可得：cos$\frac{A}{2}$=$\frac{7}{12}$，从而可求sinA，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：设△ABC，AD是∠A的平分线，AD=2，AB=4，AC=3，
根据角平分定理，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{4}{3}$，
设BD=4m，CD=3m，
在△ABD和△ADC中，根据余弦定理，
BD²=AB²+AD²-2×AB×AD×cos$\frac{A}{2}$，可得：16m²=16+4-2×4×2cos$\frac{A}{2}$，解得：m²=$\frac{5}{4}$-cos$\frac{A}{2}$，（1）
CD²=AC²+AD²-2×AC×AD×cos$\frac{A}{2}$，可得：9m²=9+4-2×3×2cos$\frac{A}{2}$，解得：m²=$\frac{13}{9}$-$\frac{4}{3}$cos$\frac{A}{2}$，（2）
比较（1）和（2）式，可得：cos$\frac{A}{2}$=$\frac{7}{12}$，
解得：cosA=2（cos$\frac{A}{2}$）²-1=-$\frac{23}{72}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{7\sqrt{95}}{72}$，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC×sinA=$\frac{1}{2}$×4×3×$\frac{7\sqrt{95}}{72}$=$\frac{7\sqrt{95}}{12}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{95}}{12}$．

点评 本题主要考查了角平分线的性质的应用，考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．