Question

14．已知x的不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a，其中a为实数．
（1）当a=1时，解不等式；
（2）若不等式的解集为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）令f（x）=|x+3|-|x-1|，求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=1时，|x+3|-|x-1|≤-2，
令f（x）=|x+3|-|x-1|，
则当x＜-3时，f（x）=-x-3+x-1=-4≤-2，成立，
当-3≤x≤1时，f（x）=2x+2≤-2，解得：x≤-2，
当x＞1时，f（x）=x+3-x+1=4＞-2，不成立，
故不等式的解集是{x|x≤-2}，
（2）：令f（x）=|x+3|-|x-1|，
则当x＜-3时，f（x）=-x-3+x-1=-4；
当-3≤x≤1时，f（x）=2x+2∈[-4，4]；
当x＞1时，f（x）=x+3-x+1=4；
∴f（x）_max=4．
∵不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a的解集是R，
∴a²-3a≥f（x）_max=4，
∴a²-3a-4≥0．
解得：a≥4或a≤-1．

点评 本题考查绝对值不等式，考查构造函数思想与方程思想，考查理解题意与推理运算的能力，属于中档题．