Question

6．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点E为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BED；
（2）求异面直线AD与PB所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，则O为AC的中点，可得OE为三角形PAC的中位线，得OE∥PC，由线面平行的判定可得PC∥平面BED；
（2）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC，再由ABCD为矩形，得BC⊥AD，由线面垂直的判定可得BC⊥平面PAB，有BC⊥PB，即∠PBC=90°，从而可得异面直线AD与PB所成角．

解答 （1）证明：如图，连接AC，BD，设AC∩BD=O，则O为AC的中点，
连接OE，又E为PA的中点，∴OE∥PC，
∵OE?平面BED，PC?平面BED，
∴PC∥平面BED；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，而BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又ABCD为矩形，则BC⊥AD，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，则BC⊥PB，即∠PBC=90°，
∵AD∥BC，∴异面直线AD与PB所成角即为∠PBC=90°．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了异面直线所成角的求法，是中档题．