Question

11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e，D为右准线上一点．
（1）若e=$\frac{1}{2}$，点D的横坐标为4，求椭圆的方程；
（2）设斜率存在的直线l经过点P（$\frac{3a}{4}$，0），且与椭圆交于A，B两点．若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$，DP⊥l，求椭圆离心率e．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，准线$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即可求得a和c，则b²=a²-c²=3，即可求得椭圆方程；
（2）方法一：设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得D点坐标，由D的横坐标为$\frac{{a}^{2}}{c}$，即可表示出D点坐标，即可求得直线PD的斜率，由k_PD•k_AB=-1，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆离心率e；
方法二：设D点坐标，求得直线PD的方程，利用点差法及向量的数量积，即可求得直线AB的斜率，由k_PD•k_AB=-1，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆离心率e．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，①椭圆的右准线方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，则a²=4c，②，解得：a=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）方法一：设直线AB的方程：x=my+$\frac{3a}{4}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{3}{4}a}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}=0}\end{array}\right.$，整理得：（a²+b²m²）y²+$\frac{3}{2}$ab²my-$\frac{7}{16}$a²b²=0，
y₁+y₂=-$\frac{3a{b}^{2}m}{2（{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}）}$，则x₁+x₂=m（y₁+y₂）+$\frac{3a}{2}$=$\frac{3{a}^{3}}{2（{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}）}$，
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$，则$\overrightarrow{OD}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（$\frac{3{a}^{3}}{2（{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}）}$，-$\frac{3a{b}^{2}m}{2（{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}）}$），
则D（$\frac{3{a}^{3}}{2（{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}）}$，-$\frac{3a{b}^{2}m}{2（{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}）}$），由D在椭圆的右准线上，则$\frac{3{a}^{3}}{2（{a}^{2}+{b}^{2}{m}^{2}）}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$，整理得3ac=2（a²+b²m²），
∴D（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{{b}^{2}m}{c}$），则直线PD的斜率$\frac{-\frac{{b}^{2}m}{c}-0}{\frac{{a}^{2}}{c}-\frac{3a}{4}}$=-$\frac{4{b}^{2}m}{4{a}^{2}-3ac}$，
由DP⊥l，则-$\frac{4{b}^{2}m}{4{a}^{2}-3ac}$=-m，整理得4b²=4a²-3ac，即3ac=4（a²-b²）=4c²，则3a=4c，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，
椭圆离心率e的值为$\frac{3}{4}$．
方法二：设D（$\frac{{a}^{2}}{c}$，y），P（$\frac{3a}{4}$，0），则直线DP的斜率k_PD=$\frac{y-0}{\frac{{a}^{2}}{c}-\frac{3a}{4}}$=$\frac{4cy}{4{a}^{2}-3ac}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=y}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，两式相减，整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{\frac{{a}^{2}}{c}}{y}$=-$\frac{{b}^{2}}{cy}$，
∴直线l的斜率k_AB=-$\frac{{b}^{2}}{cy}$，
∴DP⊥l，则k_PD•k_AB=-1，
$\frac{4cy}{4{a}^{2}-3ac}$×（-$\frac{{b}^{2}}{cy}$）=-1，整理得4b²=4a²-3ac，即3ac=4（a²-b²）=4c²，则3a=4c，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，
椭圆离心率e的值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，点差法的应用，考查计算能力，属于中档题．