Question

11．已知x＞0，y＞0，且x+8y-xy=0．
（1）当x，y分别为何值时，xy取得最小值？
（2）当x，y分别为何值时，x+y取得最小值？

Answer 1

分析 （1）直接利用基本不等式，求出x，y分别为何值时，xy取得最小值；
（2）变形，利用“1”的代换，即可求出当x，y分别为何值时，x+y取得最小值

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0，且x+8y-xy=0，
∴xy=x+8y≥4$\sqrt{2}xy$，当且仅当x=8y，即x=16，y=2时取等号，
∴xy≥32．
∴xy的最小值为8．
（2）∵x+8y-xy=0，∴$\frac{8}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴x+y=（x+y）（$\frac{8}{x}$+$\frac{1}{y}$）=9+$\frac{x}{y}$+$\frac{8y}{x}$≥9+4$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{x}{y}$=$\frac{8y}{x}$，即y=1+2$\sqrt{2}$，x=8+2$\sqrt{2}$时取等．
因此x+y的最小值为9+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查利用基本不等式求最值，考查学生变形能力，属于中档题．