（本题满分14分）
已知数列
满足
（Ⅰ）证明：数列
为等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项
以及前n项和
；
（Ⅲ）如果对任意的正整数
都有
求
的取值范围。
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
，
（Ⅲ）
解析试题分析：（Ⅰ）证明：由
得
所以数列为等比数列且首项为2，公比为2. …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
=
所以
利用分组求和可得：
…9分
（Ⅲ）由
，得
（10分）
令
则 
当
时
,当
时
综合，得：当
时，
)
,即时，
,
所以
为单调递增数列，故
，即所求的取值范围是 . …14分
考点：本小题主要考查等比数列的证明、构造新数列、用函数的观点考查数列的单调性、恒成立问题求参数的值以及数列中的基本计算问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和转化思想的应用.
点评：要证明等差或等比数列，只能用定义或等差、等比数列的中项，恒成立问题一般转化为求最值问题解决，而数列是一种特殊的函数，可以用函数的观点考查数列的单调性进而求最值.
应用题作业本系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设二次函数
，对任意实数
，
恒成立；正数数列
满足
.
（1）求函数
的解析式和值域；
（2）试写出一个区间
，使得当
时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）若已知
，求证：数列
是等比数列
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的首项为
，
时，
，数列
对任意
均有
，数列
满足
，记数列
项和为
，求证
.
的前
项和为
，
，
，等差数列
满足
，
，
恒成立，求实数
的取值范围．
的首项
，
，
…．
是等比数列；
的前
项和
．
的前
项和为
，求
满足
，
（
）.
满足
（
（
，则有（ ）
}的前n项和
，
|}的前n项和
．