精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

(本小题满分14分)已知数列满足).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足),证明:数列是等差数列;
(Ⅲ)证明:).

(Ⅰ). (Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析。

解析试题分析:(1)构造等比数列的思想得到数列的通项公式的求解。
(2)在第一问的基础上表述出bn的关系式,利用整体的思想得到证明。
(3)结合数列的放缩的思想,对于通项公式放缩得到求和的放缩结论。
解:(Ⅰ)因为,所以.               (2分)
所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.                 (3分)
所以.                                    (4分)
(Ⅱ)因为,所以.   (5分)
  ①                             (6分)
所以  ②             (7分)
②-①得:,即  ③    (8分)
所以  ④                                  (9分)
④-③得,即.                  (10分)
所以数列{bn}是等差数列.
(Ⅲ)因为,                      (12分)

                (13分)
所以.                               (14分)
考点:本试题主要考查了数列的通项公式和前n项和的求解以及不等式的证明综合运用。
点评:解决该试题的关键是构造等比数列的思想得到数列an的通项公式,进而为求解bn得到突破口,表示出bn的值,来得到证明。

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本题满分13分)设数列为单调递增的等差数列依次成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式
(Ⅱ)若求数列的前项和
(Ⅲ)若,求证:

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知数列满足,试证明:
(1)当时,有
(2).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本题满分14分)
已知数列满足
(Ⅰ)证明:数列为等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项以及前n项和
(Ⅲ)如果对任意的正整数都有的取值范围。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分14分)
已知数列的前项和,且的最大值为8.
(1)确定的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)求数列的前项和

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分12分)
某工厂用7万元钱购买了一台新机器,运输安装费用2千元,每年投保、动力消耗的费用也为2千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为2千元,第二年为3千元,第三年为4千元,依此类推,即每年增加1千元.问这台机器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值.(最佳使用年限佳是使年平均费用最小的时间)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数定义在区间上,,且当时,
恒有.又数列满足.
(1)证明:上是奇函数;
(2)求的表达式;
(3)设为数列的前项和,若恒成立,求的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

过点且方向向量为的直线交椭圆两点,记原点为,面积为,则_______

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:单选题

为非零实数,且,则下列命题成立的是(   )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案