(本小题满分14分)已知数列满足,().
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足(),证明:数列是等差数列;
(Ⅲ)证明:().
(Ⅰ). (Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析。
解析试题分析:(1)构造等比数列的思想得到数列的通项公式的求解。
(2)在第一问的基础上表述出bn的关系式,利用整体的思想得到证明。
(3)结合数列的放缩的思想,对于通项公式放缩得到求和的放缩结论。
解:(Ⅰ)因为,所以. (2分)
所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列. (3分)
所以,. (4分)
(Ⅱ)因为,所以. (5分)
即 ① (6分)
所以 ② (7分)
②-①得:,即 ③ (8分)
所以 ④ (9分)
④-③得,即. (10分)
所以数列{bn}是等差数列.
(Ⅲ)因为, (12分)
设,
则 (13分)
所以. (14分)
考点:本试题主要考查了数列的通项公式和前n项和的求解以及不等式的证明综合运用。
点评:解决该试题的关键是构造等比数列的思想得到数列an的通项公式,进而为求解bn得到突破口,表示出bn的值,来得到证明。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
某工厂用7万元钱购买了一台新机器,运输安装费用2千元,每年投保、动力消耗的费用也为2千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为2千元,第二年为3千元,第三年为4千元,依此类推,即每年增加1千元.问这台机器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值.(最佳使用年限佳是使年平均费用最小的时间)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数定义在区间上,,且当时,
恒有.又数列满足.
(1)证明:在上是奇函数;
(2)求的表达式;
(3)设为数列的前项和,若对恒成立,求的最小值.
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