Question

20．如果对任意一个三角形，只要它的三边a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“和美型函数”．现有下列函数：①f（x）=$\sqrt{x}$；  ②g（x）=sinx，x∈（0，π）；  ③φ（x）=2^x；④h（x）=lnx，x∈[2，+∞）．其中是“和美型函数”的函数序号为①④．（写出所有正确的序号）

Answer 1

分析 ①由0＜a≤b≤c，且a+b＞c，判断$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$成立即可；
②举例说明y=sinx不是“和美型函数”；
③举例说明y=2^x不是“和美型函数”；
④由2≤a≤b＜c，说明lna+lnb＞lnc成立即可．

解答 解：对于①，设0＜a≤b≤c，且a+b＞c，欲证明$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$，
只需证明a+b+2$\sqrt{ab}$＞c，即2$\sqrt{ab}$＞0成立；∴①是“和美型函数”；
对于②，取a=$\frac{π}{2}$，b=$\frac{5π}{6}$，c=$\frac{5π}{6}$，而sinb+sinc=sina，∴②不是“和美型函数”；
对于③，取a=2，b=2，c=3，则2²+2²=2³，∴以2²、2²、2³为三边不能构成三角形，
③不是“和美型函数”；
对于④，设2≤a≤b＜c，此时只需证lna+lnb＞lnc，即证lnab＞lnc，即证ab＞c，
由①知a+b＞c，而ab-（a+b）=ab-a-b+1-1=（a-1）（b-1）-1≥0，即ab≥a+b＞c，
∴lna+lnb＞lnc成立，即h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“和美型函数”．
综上，是“和美型函数”的函数序号为①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，也考查了综合分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．