Question

1．已知函数f_n（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（{n+1}）{x^2}+x（{n∈N*}）$，数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）是否存在n，使得f_n（x）在x=1处取得极值，若存在，求n的值，若不存在，说明理由；
（2）求a₂，a₃，a₄的值，请猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据${f_n}^′（1）=0$，求出n的值，判断结论即可；
（2）猜想a_n=n+2，根据数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）${f}_{n}^{′}$（x）=x²-（n+1）x+1，（n∈N^*），
若f_n（x）在x=1处取得极值，则${f_n}^′（1）=0$，得n=1，
此时${f_n}^′（x）={（x-1）^2}≥0$，所以f_n（x）在R上单调递增，不存在极值．
所以不存在n，使得f_n（x）在x=1处取得极值．
（2）由${f}_{n}^{′}$（x）=x²-（n+1）x+1，（n∈N^*），
∴a₁=3，又a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$-（n+1）a_n+1，
∴a₂=${{a}_{1}}^{2}$-2a₁+1=4，
∴a₃=${{a}_{2}}^{2}$-3a₂+1=5，
∴a₄=${{a}_{3}}^{2}$-4a₃+1=6，
猜想a_n=n+2，
用数学归纳法证明，
①n=1时显然成立．
②假设当n=k（k∈N^*）时，a_k=k+2猜想成立，
则n=k（k∈N^*）时，a_k=k+2，
则当n=k+1（k∈N^*）时，
a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-（k+1）a_k+1=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1=k+3=（k+1）+2，
∴n=k+1时，猜想成立，
由①②可知对一切n∈N^*，a_n=n+2成立．

点评 本题考查了函数的导数，极值问题，考查归纳猜想，考查数学归纳法的应用，是一道中档题．