Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，PA=AC．过点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G（E，F，G三点均不在棱的端点处）．
（I）求证：平面PAB丄平面PBC
（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，求$\frac{PF}{PC}$的值；
（Ⅲ）直线AE是否可能与平面PCD平行？证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在四棱锥P-ABCD中，可得BC⊥面PAB，即平面PAB丄平面PBC．
（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，即F为PC中点，可得$\frac{PF}{PC}=\frac{1}{2}$，
（Ⅲ）假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，与已知矛盾．

解答 解（Ⅰ）在四棱锥P-ABCD中，∵底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD，
∴PA⊥BC，BC⊥AB，又因为PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB，
∵BC?面PBC，∴平面PAB丄平面PBC．
（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，则有PC丄AF，又因为PA=AC，∴F为PC中点，
∴$\frac{PF}{PC}=\frac{1}{2}$，
（Ⅲ）直线AE是不可能与平面PCD平行．
假设AE∥面PCD，又因为AB∥面PCD，且AE∩AB=A，⇒面PAB∥面PDC，与已知矛盾．
假设不成立，∴直线AE是不可能与平面PCD平行．

点评 本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于中档题．