Question

7．如图所示的三角形数阵叫“牛顿调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为$\frac{1}{n}$（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如$\frac{1}{1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，…，
则（1）第6行第2个数（从左往右数）为$\frac{1}{30}$；
（2）第n行第3个数（从左往右数）为$\frac{2}{n（n-1）（n-2）}$．

Answer 1

分析 根据“牛顿调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，就得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第n（n≥3）行第3个数字，第6行第2个数．

解答 解：将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，
就得到牛顿调和三角形．
∵杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是C_n-1²，
则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是$\frac{1}{n{C}_{n-1}^{2}}$=$\frac{2}{n（n-1）（n-2）}$，
第6行第2个数$\frac{1}{6×5}$=$\frac{1}{30}$，
故答案为：$\frac{1}{30}，\frac{2}{n（n-1）（n-2）}$

点评 本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．