Question

19．已知函数f（x）=lnx+2sinα（α∈（0，$\frac{π}{2}$））的导函数f′（x），若存在x₀＜1使得f′（x₀）=f（x₀）成立，则实数α的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）
• B． （0，$\frac{π}{3}$）
• C． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
• D． （0，$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 先求出函数的导数，根据f′（x₀）=f（x₀），可得sin α=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x₀），由0＜x₀＜1，可得sin α的范围，即可得出．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，f′（x₀）=f（x₀），
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=ln x₀+2sinα，
∴sinα=$\frac{1}{{2x}_{0}}$-$\frac{1}{2}$ln x₀，
又∵0＜x₀＜1，
∴可得 $\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x₀）＞$\frac{1}{2}$，即sin α＞$\frac{1}{2}$，
∴α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）．
故选：C．

点评 本题考查了导数的运算法则、对数函数和正切函数的单调性，属于中档题．