Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2．
（Ⅰ）若M是棱PB上一点，且BM=2PM，求证：PD∥平面MAC；          
（Ⅱ） 若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥M-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，交AC于点N，连结MN．由平行线截线段成比例定理可得MN∥PD．然后利用线面平行的判定得PD∥平面MAC．
（Ⅱ）由已知平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，结合线面垂直的性质可得AD⊥平面PAB，得到AD⊥PA．同理可证AB⊥PA．再由线面垂直的判定得PA⊥平面ABCD．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，过M作MG⊥AB，则MG∥PA，MG⊥平面ABCD，由平行线截线段成比例可得MG，求出底面ABC的面积，代入棱锥体积公式求得三棱锥M-ABC的体积．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD，交AC于点N，连结MN．
∵AB∥CD，AB=2CD，
∴$\frac{BN}{DN}=\frac{AB}{CD}=2$．
∵BM=2PM，
∴$\frac{BM}{PM}=\frac{BN}{DN}=2$．
∴MN∥PD．
又MN?平面MAC，PD?平面MAC，
∴PD∥平面MAC．
（Ⅱ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥AD，
∴AD⊥平面PAB．
∴AD⊥PA．
同理可证AB⊥PA．
又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD．
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，
过M作MG⊥AB，则MG∥PA，MG⊥平面ABCD，
∴MG是三棱锥M-ABC的高，
∵$\frac{MG}{PA}=\frac{BM}{BP}$，
∴MG=$\frac{BM•PA}{BP}=\frac{\frac{2}{3}×2\sqrt{2}×2}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{3}$，
而底面ABCD为直角梯形，
∴${S_{△ABC}}={S_{梯形ABCD}}-{S_{△ACD}}=\frac{1}{2}×2×（1+2）-\frac{1}{2}×1×2=2$，
∴${V}_{M-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}•MG=\frac{1}{3}×2×\frac{4}{3}=\frac{8}{9}$．

点评 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力和思维能力，训练了棱锥体积的求法，是中档题．