Question

π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=

lnx

x

的单调区间；
（Ⅱ）求e³，3^e，e^π，π^e，3^π，π³这6个数中的最大数与最小数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数思想

分析：第（Ⅰ）问中，先根据分式求导法则，再解对数不等式即可；
第（Ⅱ）问中，可先将6个数分组，比较各组内数的大小后，再比较组与组之间的数的大小，而数的大小比较，可以考虑函数y=lnx，y=e^x，y=π^x的单调性．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由f（x）=

lnx

x

得f′(x)=

1-lnx

x2

．
当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞e时，f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．

（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，
从而有ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．
于是，根据函数y=lnx，y=e^x，y=π^x在定义域上单调递增，
可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，
∴这6个数的最大数在π³与3^π之中，最小数在3^e与e³之中．
由（Ⅰ）知，f（x）=

lnx

x

在[e，+∞）上单调递减，
∴

lnπ π ＜ ln3 3 ln3 3 ＜ lne e

即

3lnπ＜πln3 eln3＜3lne

得

lnπ3＜ln3π ln3e＜lne3

∴

π3＜3π 3e＜e3

综上可知，6个数中的最大数是3^π，最小数是3^e．

点评：1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．
2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点：
（1）寻找同底的指数式或对数式；
（2）分清是递增还是递减；
（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．