Question

π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=

lnx

x

的单调区间；
（Ⅱ）求e³，3^e，e^π，π^e，3^π，π³这6个数中的最大数和最小数；
（Ⅲ）将e³，3^e，e^π，π^e，3^π，π³这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；
（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．再根据函数y=lnx，y=e^x，y=π^x在定义域上单调递增，可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，从而六个数的最大数在π³与3^π之中，最小数在3^e与e³之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即

lnπ

π

＜

ln3

3

＜

lne

e

，由此进而得到结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3^e＜π^e＜π³＜3^π，3^e＜e³，又由（Ⅱ）知，

lnπ

π

＜

lne

e

，得π^e＜e^π，故只需比较e³与π^e和e^π与π³的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，

lnx

x

＜

1

e

．，令x=

e2

π

，有ln

e2

π

＜

e

π

，从而2-lnπ＜

e

π

，即得lnπ＞2-

e

π

．①，由①还可得lnπ^e＞lne³，3lnπ＞π，由此易得结论；

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=

lnx

x

，∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．
故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
（Ⅱ）∵e＜3＜π，
∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3^e＜lnπ^e，lne^π＜ln3^π．
于是根据函数y=lnx，y=e^x，y=π^x在定义域上单调递增，可得3^e＜π^e＜π³，e³＜e^π＜3^π，
故这六个数的最大数在π³与3^π之中，最小数在3^e与e³之中．
由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即

lnπ

π

＜

ln3

3

＜

lne

e

，
由

lnπ

π

＜

ln3

3

，得lnπ³＜ln3^π，∴3^π＞π³；
由

ln3

3

＜

lne

e

，得ln3^e＜lne³，∴3^e＜e³．
综上，6个数中的最大数是3^π，最小数是3^e．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3^e＜π^e＜π³＜3^π，3^e＜e³，
又由（Ⅱ）知，

lnπ

π

＜

lne

e

，得π^e＜e^π，
故只需比较e³与π^e和e^π与π³的大小．
由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=

1

e

，即

lnx

x

＜

1

e

．
在上式中，令x=

e2

π

，又

e2

π

＜e，则ln

e2

π

＜

e

π

，
从而2-lnπ＜

e

π

，即得lnπ＞2-

e

π

．①
由①得，elnπ＞e（2-

e

π

）＞2.7×（2-

2.72

3.1

）＞2.7×（2-0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπ^e＞lne³，
∴e³＜π^e．
又由①得，3lnπ＞6-

3e

π

＞6-e＞π，即3lnπ＞π，
∴e^π＜π³．
综上可得，3^e＜e³＜π^e＜e^π＜π³＜3^π，即6个数从小到大顺序为3^e，e³，π^e，e^π，π³，3^π．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．