Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n满足S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S₁=a₁求出a₁的值；
（2）利用a_n与S_n的关系，将条件转化为a_n的方程，从而求出a_n；
（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．

解答： 解：（1）令n=1得：

S

2 1

-(-1)S1-3×2=0，即

S

2 1

+S1-6=0．
∴（S₁+3）（S₁-2）=0．
∵S₁＞0，∴S₁=2，即a₁=2．
（2）由

S

2 n

-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0得：
(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0．
∵a_n＞0（n∈N^*），
∴S_n＞0．
∴Sn=n2+n．
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，
又∵a₁=2=2×1，
∴an=2n(n∈N*)．
（3）由（2）可知

1

an(an+1)

=

1

2n(2n+1)

，
?n∈N^*，

1

an(an+1)

=

1

2n(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
当n=1时，显然有

1

a1(a1+1)

=

1

6

＜

1

3

；
当n≥2时，

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

2•(2+1)

+

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

3

-

1

2

•

1

2n+1

＜

1

3

所以，对一切正整数n，有

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

．

点评：本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．