Question

【题目】已知函数（）.

（Ⅰ）若函数有零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若对任意的，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）由函数有零点得：关于的方程（）有解

令，则，于是有关于的方程有正根，设，对m进行讨论即可；

（2）由题意可得，，变形为：，进行分类讨论化简整理可得.

详解：（1）由函数有零点得：关于的方程（）有解

令，则

于是有，关于的方程有正根

设，则函数的图象恒过点且对称轴为

当时，的图象开口向下，故恰有一正数解

当时，，不合题意

当时，的图象开口向上，故有正数解的条件是

解得：

综上可知，实数的取值范围为.

（2）由“当时，都有”得：

，②

∵，故②变形为：

当时，不等式②简化为，此时实数

当时，有

∴

∴，

∵当时，，

当且仅当时取等号

∴

综上可知，实数的取值范围.